Question

（安徽卷理）（本小题满分13分）     

点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.

（I）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；         

（II）证明:构成等比数列.

Answer 1

如下

解析:

证明 （I）（方法一）由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.          

(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。     

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

（II）的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。