Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n²-5n，则数列$\left\{{\frac{n}{a_n}\;}\right\}$中数值最大的项是第6项．

Answer 1

分析 可判数列为等差数列，可得通项公式，可得数列$\left\{{\frac{n}{a_n}\;}\right\}$的通项公式，由函数的单调性可得．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n²-5n，
∴数列{a_n}为等差数列，
可得a₁=S₁=-$\frac{9}{2}$，a₂=S₂-S₁=$-\frac{7}{2}$，
∴公差d=$-\frac{7}{2}$+$\frac{9}{2}$=1，
∴a_n=-$\frac{9}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-11}{2}$，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{2n-11}$=$\frac{2n-11+11}{2n-11}$=1+$\frac{11}{2n-11}$，
结合n为正整数和函数y=1+$\frac{11}{2x-11}$的单调性可知当n=6时，式子取最大值
故答案为：6．

点评 本题考查等差数列的性质和函数的单调性，属中档题．