Question

设f(x)=

2

3

x3-2x+m(-

4

3

≤m≤

4

3

)．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）求方程f（x）=0的实数解的个数．

Answer 1

分析：（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．再进行分类讨论．

解答：解：（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	--	0	+
f（x）	单增	极大值	单减	极小值	单增

所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）；
极大值为f(-1)=m+

4

3

，极小值为f(1)=m-

4

3

．
（II）由于-

4

3

≤m≤

4

3

，所以f(-1)=m+

4

3

≥0，f(1)=m-

4

3

≤0．
①当m=-

4

3

时，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一个解．
又因为f(1)=-

4

3

-

4

3

=-

8

3

＜0， f(3)=

2

3

×27-6-

4

3

=12-

4

3

＞0，
所以，方程f（x）=0在（1，3）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有两个不同的解．
②当m=

4

3

时，f(1)=m-

4

3

=0，即x=1是方程f（x）=0的一个解．
又因为f(-1)=

4

3

+

4

3

=

8

3

＞0， f(-3)=-12+

4

3

＜0，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有两个不同的解．
③当-

4

3

＜m＜

4

3

时，f(-1)=m+

4

3

＞0，f(1)=m-

4

3

＜0，所以方程f（x）=0在（-1，1）内至少有一个解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）内至少有一个解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有三个不同的解．

点评：通过本题考查学生几个方面的能力：（1）能否将“求方程f（x）=0的实数解的个数”问题转化为函数f（x）的零点问题；（2）对于函数问题，是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质．