Question

设a，b，c是实数（a＜b），m，n，p是正实数，函数f（x）=（x-a）（x-b）；
（1）证明方程f（x）=p有两个不等实数根；
（2）设（1）中的方程的两根为α、β（α＜β），试确定α、β、a、b四个数的大小关系；
（3）设g（x）=f（x）（x-c）-（m+n+p）x+（am+bn+cp），对于（2）中的α、β请判断g（α）及g（β）的符号．

Answer 1

分析：（1）证明方程f（x）=p有两个不等实数根，只需要证明方程根的判别式大于0即可；
（2）方程f（x）=p的两根为α、β（α＜β），即y=f（x）与y=p的图象交点的横坐标为α、β，又y=f（x）与y=0的图象交点的横坐标为a，b（a＞b），且y=f（x）的图象开口向上，从而可得结论；
（3）由题意，（α-a）（α-b）=p，g（α）=（a-α）m+（b-α）n，根据a＞α，b＞α，m＞0，n＞0，可得g（α）＞0；同理g（β）=（a-β）m+（b-β）n，根据a＜β，b＜β，m＞0，n＞0，可得g（β）＜0．

解答：（1）证明：由f（x）=p，可化为x²+（a+b）x+ab-p=0
∵△=（a+b）²-4（ab-p）=（a-b）²+4p，p＞0
∴△＞0
故方程f（x）=p有两个不等实数根
（ 2）解：方程f（x）=p的两根为α、β（α＜β），即y=f（x）与y=p的图象交点的横坐标为α、β，又y=f（x）与y=0的图象交点的横坐标为a，b（a＞b），且y=f（x）的图象开口向上，如图所示，可知α＜a＜b＜β

（3）解：由题意，（α-a）（α-b）=p
∴g（α）=（α-a）（α-b）（α-c）-（m+n+p）α+（am+bn+cp）=（a-α）m+（b-α）n，
∵a＞α，b＞α，m＞0，n＞0
∴g（α）＞0
同理g（β）=（a-β）m+（b-β）n，
∵a＜β，b＜β，m＞0，n＞0
∴g（β）＜0
故g（α）是正数，g（β）是负数．

点评：本题以二次函数为载体，考查方程根的判断，考查函数值符号的确定，同时考查了数形结合的数学思想，难度一般．