Question

已知函数f（x）=2（sin⁴x+cos⁴x）+m（sinx+cosx）⁴在x∈[0，

π

2

）上的最大值为5，求实数m的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数

专题：分类讨论,三角函数的求值

分析：设a=sinx，b=cosx，x∈[0，

π

2

），用ab表示f（x），讨论m的值，求f（x）取到最大值时，求出符合条件的m的值．

解答： 解：设a=sinx，b=cosx，且x∈[0，

π

2

），
则a²+b²=1，ab=

1

2

sin2x，
∴0≤ab≤

1

2

；
∴f（x）=2（a⁴+b⁴）+m（a+b）⁴
=2[（a²+b²）²-2a²b²]+m（a²+b²+2ab）²
=2-4（ab）²+m（1+2ab）²
=2-4（ab）²+m[1+4ab+4（ab）²]
=4（m-1）（ab）²+4mab+2+m，
当m=1时，f（x）=4ab+3=2sin2x+3，在x=

π

4

时取到最大值5，符合题意；
当m≠1时，f（x）=4（m-1）[ab+

m

2(m-1)

]2+1-

1

m-1

，
由抛物线性质，知：
当m＞1时，f（x）_max=f（

1

2

）=4（m-1）×

1

4

+4m×

1

2

+2+m=4m+1=5，
解得m=1，不符条件，舍去；
当m＜1时，若0≤

m

2(1-m)

≤

1

2

，则0≤m≤

1

2

，
f（x）_max=f[

m

2(1-m)

]=1-

1

m-1

=5，解得 m=

3

4

，不符条件，舍去；
若

1

2

＜m＜1，则f（x）_max=f（

1

2

）=4m+1=5，解得m=1，不符条件，舍去；
若m＜0，则f（x）_max=f（0）=2+m=5，解得m=3，不符条件，舍去；
综上，只有一个解m=1；
即f（x）在x∈[0，

π

2

）上的最大值为5时，m=1．

点评：本题考查了分类讨论的应用问题，也考查了三角函数的求值问题，解题时应对三角函数进行适当地变形，是难题目．