Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）设A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，若A∩B=∅，试确定a的取值范围．

Answer 1

解：（1）定义在R上的函数f（x）满足对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），令 m=n=0 可得 f（0）=f（0）f（0），
故有 f（0）=1．
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）可得 f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x）=1，∴f（-x）=，故f（x）与f（-x）互为倒数，故函数f（x）＞0恒成立．
设 x₂＞x₁，则 x₂-x₁＞0，由题意可得 0＜f（x₂-x₁）＜1．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，
故函数 f（x）在R上是减函数．
（3）A={（x，y）|f（x²）f（y²）＞f（1）}={（x，y）|f（x²+y²）＞f（1）}={（x，y）|x²+y²＜1 }，表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（不包含边界）．
B={（x，y）|f（ax-y+）=f（0）}={（x，y）|ax-y+=0 }，表示一条过点（0，）的一条直线．
若A∩B=∅，则圆和直线相切或相离，故有 ≥1，解得-1≤a≤1．
分析：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n），令 m=n=0 可得f（0）=1．
（2）由f（m+n）=f（m）•f（n）可得 f（-x）=，故f（x）与f（-x）互为倒数，故函数f（x）＞0恒成立．再由 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，可得函数 f（x）在R上是减函数．
（3）化简A为 {（x，y）|x²+y²＜1 }，表示一个以原点为圆心、半径等于1的圆面（不包含边界）．化简B为 {（x，y）|ax-y+=0 }，表示一条过点（0，）的一条直线．根据圆和直线相切或相离，可得 ≥1，由此解得a的范围．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．