Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DC=2DD₁，E，F分别为棱C₁D₁，BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）求证面ADE⊥面BCE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC的中点为G，连FG，GC₁，由E，F分别为棱C₁D₁，BD的中点推断出FG∥DC，且FG=

1

2

DC，EC₁∥DC，且EC1=

1

2

DC，进而可知EC₁∥FG，且EC₁=FG推断出FGC₁E为平行四边形，继而可知EF∥GC₁，利用线面平行的判定定理推断出EF∥平面BCC₁   
（Ⅱ）由DC=2DD₁，E分别为棱C₁D₁的中点，推断出D₁D=D₁E，又∠DD₁E=90°，进而可求得∠D₁ED=45°，同理∠C₁EC=45°，进而可知∠DEC=90°．即DE⊥EC，由BC⊥面DC₁，又DE?面DC₁，推断出BC⊥DE．最后根据面面垂直的判定定理知面ADE⊥面BCE．

解答： 解：（Ⅰ）取BC的中点为G，连FG，GC₁，
∵E，F分别为棱C₁D₁，BD的中点
∴FG∥DC，且FG=

1

2

DC，EC₁∥DC，且EC1=

1

2

DC，
∴EC₁∥FG，且EC₁=FG
∴FGC₁E为平行四边形，∴EF∥GC₁   
∵EF⊆平面BCC₁，GC₁⊆平面BCC₁，
∴EF∥平面BCC₁   
（Ⅱ）∵DC=2DD₁，E分别为棱C₁D₁的中点，
∴D₁D=D₁E，
又∵∠DD₁E=90°，
∴∠D₁ED=45°，同理∠C₁EC=45°，
∴∠DEC=90°．即DE⊥EC，
∵BC⊥面DC₁，又∵DE?面DC₁，
∴BC⊥DE．
∵BC∩CE=C，
∴DE⊥面BCE．
∵DE?面ADE，
∴面ADE⊥面BCE．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理的应用．在进行面面垂直的判定过程中，证明线面垂直是关键．