Question

11．已知等式（1+x）^2n-1=（1+x）^n-1（1+x）ⁿ．
（1）求（1+x）^2n-1的展开式中含xⁿ的项的系数，并化简：${C}_{n-1}^{0}$${C}_{n}^{n}$+${C}_{n-1}^{1}$+…+${C}_{n-1}^{n-1}$${C}_{n}^{1}$；
（2）证明：（${C}_{n}^{1}$）²+2（${C}_{n}^{2}$）²+…+n（${C}_{n}^{n}$）²=n${C}_{2n-1}^{n}$．

Answer 1

分析 （1）（1+x）^2n-1的展开式中含xⁿ的项的系数为$C_{2n-1}^n$，由可知，（1+x）^n-1（1+x）ⁿ的展开式中含xⁿ的项的系数为$C_{n-1}^0C_n^n+C_{n-1}^1C_n^{n-1}+…+C_{n-1}^{n-1}C_n^1$．即可证明．
（2）当k∈N^*时，$kC_n^k=k•\frac{n!}{k!（n-k）!}=\frac{n!}{（k-1）!（n-k）!}$=$n•\frac{（n-1）!}{（k-1）!（n-k）!}=nC_{n-1}^{k-1}$．即可证明．

解答 （1）解：（1+x）^2n-1的展开式中含xⁿ的项的系数为$C_{2n-1}^n$，
由${（1+x）^{n-1}}{（1+x）^n}=（C_{n-1}^0+C_{n-1}^1x+…+C_{n-1}^{n-1}{x^{n-1}}）（C_n^0+C_n^1x+…+C_n^n{x^n}）$
可知，（1+x）^n-1（1+x）ⁿ的展开式中含xⁿ的项的系数为$C_{n-1}^0C_n^n+C_{n-1}^1C_n^{n-1}+…+C_{n-1}^{n-1}C_n^1$．
所以$C_{n-1}^0C_n^n+C_{n-1}^1C_n^{n-1}+…+C_{n-1}^{n-1}C_n^1=C_{2n-1}^n$．
（2）证明：当k∈N^*时，$kC_n^k=k•\frac{n!}{k!（n-k）!}=\frac{n!}{（k-1）!（n-k）!}$=$n•\frac{（n-1）!}{（k-1）!（n-k）!}=nC_{n-1}^{k-1}$．
所以${（C_n^1）^2}+2{（C_n^2）^2}+…+n{（C_n^n）^2}=\sum_{k=1}^n{[k{{（C_n^k）}^2}]}=\sum_{k=1}^n{（kC_n^kC_n^k）}=\sum_{k=1}^n{（nC_{n-1}^{k-1}C_n^k）}$=$n\sum_{k=1}^n{（C_{n-1}^{k-1}C_n^k）}=n\sum_{k=1}^n{（C_{n-1}^{n-k}C_n^k）}$．
由（1）知$C_{n-1}^0C_n^n+C_{n-1}^1C_n^{n-1}+…+C_{n-1}^{n-1}C_n^1=C_{2n-1}^n$，即$\sum_{k=1}^n{（C_{n-1}^{n-k}C_n^k）}=C_{2n-1}^n$，
所以${（C_n^1）^2}+2{（C_n^2）^2}+…+n{（C_n^n）^2}=nC_{2n-1}^n$．

点评 本题考查了二项式定理的性质、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．