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已知椭圆数学公式
(1)过椭圆上点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在椭圆上运动时,求线段PD中点M的轨迹方程;
(2)若直线x-y+m=0与已知椭圆交于A、B两点,R(0,1),且|RA|=|RB|,求实数m的值.

解:(1)设PD中点M(x,y),P(x′,y′),依题意x=x′,y=
∴x′=x,y′=2y
又点P在上,∴,即
∴线段PD的中点M轨迹方程为
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
直线x-y+m=0与已知椭圆方程联立,消去y可得
∴x1+x2=-
∴y1+y2=x1+x2+2m=
∴AB的中点坐标为(-
∵R(0,1),且|RA|=|RB|,


分析:(1)确定P、M坐标之间的关系,利用点P在椭圆上,即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程;
(2)直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理确定AB的中点坐标,利用R(0,1),且|RA|=|RB|,可得斜率之间的关系,从而可得结论.
点评:本题考查轨迹方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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