Question

如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点F是AD延长线上一点，FG与圆O相切于点G，且EF=FG，求证：
（1）△EFD～△AFE；
（2）EF∥BC．

Answer 1

分析：（1）利用切割线定理可得FG²=FD•FA，利用EF=FG，可得

EF

FD

=

FA

EF

，从而可得EFD∽△AFE；
（2）由（1）有∠FED=∠FAE，利用∠FAE和∠BCD都是

BD

上的圆周角，可得∠FED=∠BCD，从而EF∥BC．

解答：证明：（1）∵FG与圆O相切于点G，∴FG²=FD•FA，
∵EF=FG，EF²=FD•FA，∴

EF

FD

=

FA

EF

，
∵∠EFD=∠AFE，∴△EFD∽△AFE．…（5分）
（2）由（1），有∠FED=∠FAE，
∵∠FAE和∠BCD都是

BD

上的圆周角，
∴∠FED=∠BCD，
∴EF∥BC．…（10分）

点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似，考查圆周角，属于中档题．