Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点F₁、F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，点（

3

，

3

2

）在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上的点，作PQ⊥l，垂足为Q，以Q为圆心，PQ为半径作圆Q，当点F₁在该圆上时，求圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据正三角形的性质可知b=

3

c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，将点（

3

，

3

2

）的坐标代入椭圆方程中，得c，则椭圆的方程可得．
（2）欲求圆的方程，关键是求出其圆心坐标和半径．设P点坐标（x，y），则Q点坐标（-4，y）由PQ=F₁Q，|x+4|=

(4-1)2+y2

，平方化简得x²+8x-y²+7=0与椭圆方程解得P，从而求出半径及圆心．

解答：解：（1）依题意可知b=

3

c
∴a=

b2+c2

=2c
∴椭圆方程变为：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
将点（

3

，

3

2

）的坐标代入椭圆方程中，得

( 3 )2

4c2

+

( 3 2 )2

3c2

=1，
∴c=1，
故椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）设P点坐标（x，y），则Q点坐标（-4，y）
由PQ=F₁Q，|x+4|=

(4-1)2+y2

，
平方化简得x²+8x-y²+7=0与椭圆方程解得P（-

4

7

，±

3 15

7

），即Q的坐标为（-4，±

3 15

7

）
r=4-

4

7

=

24

7

，
所求圆方程为(x+4)2+(y±

3 15

7

)2=

576

49

．

点评：本题主要考查了圆的标准方程、椭圆的简单性质，考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解，考查了方程思想．