Question

求下列函数的单调区间，并指出其单调性.

（1）f（x）=x³；

（2）f（x）=2x³－9x²+12x－3；

（3）f（x）=lnsinx.

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²，∴当x≠0时，f′（x）＞0.当x=0时，f′（x）=0.又当x＞0时f（x）＞0，x＜0时f（x）＜0，x=0时f（x）=0，根据函数的连续性知f（x）在（－∞，+∞）上是增函数，即y= x³的增区间为（－∞，+∞）.

（2）∵f′（x）=6x²－18x+12，由f′（x）＜0得1＜x＜2，由f′（x）＞0得x＜1或x＞2，故f（x）的增区间为（－∞，1）及（2，+∞），减区间为（1，2）.

（3）函数f（x）的定义域为2kπ＜x＜2kπ+π（k∈Z）.

∵f′（x）= =cotx，由f′（x）＞0及函数的定义域得2kπ＜x＜2kπ+（k∈Z），

由f′（x）＜0及函数的定义域得2kπ+＜x＜2kπ+π（k∈Z），

故该函数的单调增区间为（2kπ，2kπ+）（k∈Z），

减区间为（2kπ+，2kπ+π）（k∈Z）.