Question

如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第b行有n个数，且第n（n≥2）行两端的数均为

1

n

，每个数都是它下一行左右相邻两数的和，如

1

1

=

1

2

+

1

2

1

2

=

1

3

+

1

6

，

1

3

=

1

4

+

1

12

，…，则第7行第3个数（从左往右数）为

 

．

Answer 1

分析：观察图中的三角形数阵，将其改写成等价形式，发现分母的规律：第n行第k项的通项是

1

kCnk

，由此不难得出第7行第3个数．

解答：解：图中三角形数阵可写成如下的等价形式

1

C11

1

C21

 

1

2C22

1

C31

 

1

2C32

 

1

3C33

1

C41

 

1

2C42

 

1

3C43

 

1

4C44

1

C51

 

1

2C52

 

1

3C53

 

1

4C54

 

1

5C55

…，
可得第n行第k项的通项是

1

kCnk

，由此可得第7行第3个数是

1

3C73

=

1

3× 7×6×5 3×2×1

=

1

105

故答案为：

1

105

点评：本题以莱布尼兹调和三角形数阵为载体，叫我们叫第7行第3项，着重考查了数列通项的求法、组合数的性质和归纳推理的一般方法，属于基础题．