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    已知a，b，c为正实数，a+b+c=1. 求证:

    (1)a2+b2+c2≥

     (2)≤6

    证明略


    解析:

    (1)证法一:a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)

    =［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

    =［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］

    =［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0  ∴a2+b2+c2≥

    证法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

    ≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2

    ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1  ∴a2+b2+c2≥

    证法三: ∵∴a2+b2+c2≥

    ∴a2+b2+c2≥

    证法四： 设a=+α，b=+β，c=+γ.

    ∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

    ∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2

    =+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2

    =+α2+β2+γ2≥

    ∴a2+b2+c2≥

    ∴原不等式成立.

    证法二：

    ∴≤＜6

    ∴原不等式成立.

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