【题目】已知椭圆C1: + =1(a>b>0)过点A(1, ),其焦距为2.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 + =1(a>b>0),则椭圆在其上一点A(x0 , y0)处的切线方程为 + =1,试运用该性质解决以下问题:
(i)如图(1),点B为C1在第一象限中的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求△OCD面积的最小值;
(ii)如图(2),过椭圆C2: + =1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆C2上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:依题意得:椭圆的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2|,
∴ ,所以椭圆C1的方程为 .
(2)解:(ⅰ)设B(x2,y2),则椭圆C1在点B处的切线方程为
令x=0, ,令 ,所以
又点B在椭圆的第一象限上,所以 ,
∴
∴ ,当且仅当
所以当 时,三角形OCD的面积的最小值为
(ii)设P(m,n),则椭圆C1在点M(x3,y3)处的切线为:
又PM过点P(m,n),所以 ,同理点N(x4,y4)也满足 ,
所以M,N都在直线 上,
即:直线MN的方程为
所以原点O到直线MN的距离 = ,
所以直线MN始终与圆 相切.
【解析】(1)依题意得:椭圆的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2|,即可求出a,b,从而可求椭圆C1的方程;(2)(i)确定 ,再结合基本不等式,即可求△OCD面积的最小值;(ii)先求出直线MN的方程,再求出原点O到直线MN的距离,即可得出结论.
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【题目】如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.
求椭圆的方程;
是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记, , 的斜率为, , .问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】设函数
(1)若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,求对任意x∈R,f(x)>0恒成立的概率.
(2)若b是从区间[0,8](3)任取得一个数,c是从[0,6]任取的一个数,求函数f(x)的图象与x轴有交点的概率.
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【题目】选修4一4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是 (为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)写出的极坐标方程和的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标分别为和,直线与曲线相交于两点,射线
与曲线相交于点,射线与曲线相交于点,求的值.
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