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【题目】已知椭圆C1 + =1(a>b>0)过点A(1, ),其焦距为2.

(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 + =1(a>b>0),则椭圆在其上一点A(x0 , y0)处的切线方程为 + =1,试运用该性质解决以下问题:
(i)如图(1),点B为C1在第一象限中的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求△OCD面积的最小值;
(ii)如图(2),过椭圆C2 + =1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆C2上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:依题意得:椭圆的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2|,

,所以椭圆C1的方程为


(2)解:(ⅰ)设B(x2,y2),则椭圆C1在点B处的切线方程为

令x=0, ,令 ,所以

又点B在椭圆的第一象限上,所以

,当且仅当

所以当 时,三角形OCD的面积的最小值为

(ii)设P(m,n),则椭圆C1在点M(x3,y3)处的切线为:

又PM过点P(m,n),所以 ,同理点N(x4,y4)也满足

所以M,N都在直线 上,

即:直线MN的方程为

所以原点O到直线MN的距离 =

所以直线MN始终与圆 相切.


【解析】(1)依题意得:椭圆的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),由椭圆定义知:2a=|AF1|+|AF2|,即可求出a,b,从而可求椭圆C1的方程;(2)(i)确定 ,再结合基本不等式,即可求△OCD面积的最小值;(ii)先求出直线MN的方程,再求出原点O到直线MN的距离,即可得出结论.

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