Question

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，，E，F分别是AC，AD上的动点，且，
(Ⅰ)判断EF与平面ABC的位置关系并证明；
(Ⅱ)若面BEF与面BCD所成的角为60°，求λ的值。

Answer 1

解：(Ⅰ) EF⊥平面ABC； 证明：因为AB⊥平面BCD， 所以AB⊥CD， 又在△ABC中，∠BCD=90°， 所以BC⊥CD， 又AB∩BC=B， 所以CD⊥平面ABC， 又在△ABC中，E，F分别是AC，AD上的动点， 且， ∴EF∥CD， ∵CD⊥平面ABC， ∴EF⊥平面ABC， 所以，不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC。
(Ⅱ)过B作直线BC∥CD，则EF∥CD， 所以直线BG为面BEF与面BCD的交线， CD⊥平面ABC．BC∥CD， 所以BC⊥平面ABC， 所以EB⊥BC，CB⊥BC， 所以∠EBC为面BEF与面BCD所成的二面角的平面角， ∴， 在△ABE中，， ∴。