Question

辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

上市时间x天	4	10	36
市场价y元	90	51	90

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b；②y=ax²+bx+c；③y=alog_bx；
（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）设你选取的函数为f（x），若对任意实数k，方程f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知中每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，可分析出随着时间x的增加，y的值先减后增，结合一次函数，二次函数及对数函数的图象和性质，可求出恰当的函数模型；
（2）由已知中每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，代入（1）中解析式，构造方程组，解方程组求出参数，可得函数的解析式，进而结合二次函数的图象和性质得到辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（3）若方程f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，则对应的△＞0，由此构造关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围．

解答：解：（1）∵随着时间x的增加，y的值先减后增，
而所给的三个函数中y=ax+b和y=alog_bx显然都是单调函数，不满足题意，
∴y=ax²+bx+c…（4分）
（2）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得

a•42+4b+c=90 a•102+10b+c=51 a•362+36b+c=90

⇒

a= 1 4 b=-10 c=126

…（6分）
∴y=

1

4

x2-10x+126=

1

4

(x-20)2+26
∴当x=20时，y有最小值，y_min=26…（8分）
故，辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元…（9分）
（3）由（2）知f(x)=

1

4

x2-10x+126，又∵f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，则

1

4

x2-(k+10)x+6-2m=0恒有两个相异的零点，所以△1=[-(k+10)]2-4×

1

4

(6-2m)＞0恒成立，…（11分）
即k²+20k+2m+94＞0对k∈R恒成立，
所以，△2=202-4(2m+94)＜0，…（12分）
解得m＞3．故，m的取值范围为（3，+∞）．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的零点，方程根的存在性及个数的判断，难度中档．