Question

1．已知圆C的圆心与点P（0，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y+1=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=4．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设直线l：mx-y+1-m=0（m∈R）与圆C的交点为E、F，求弦EF的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．
（2）分类讨论，利用CM⊥MP，可求弦AB的中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，
而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为-1即$\frac{b-1}{a}$=-1化简得a+b-1=0①，
再根据CP的中点在直线y=x+1上得到$\frac{1+b}{2}$=$\frac{a}{2}$+1化简得a-b+1=0②
联立①②得到a=0，b=1，所以圆心的坐标为（0，1）；
圆心C到直线AB的距离d=$\frac{5}{\sqrt{9+16}}$=1，所以根据勾股定理得到半径r=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
所以圆的方程为x²+（y-1）²=5．
（2）解：当M不与P重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
设M（x，y），则x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，化简得：x²+y²-x-2y+1=0；
当M与P重合时，满足上式．

点评 此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．