Question

5．已知中心在坐标原点的椭圆C，F₁，F₂ 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C 上，且PF₁=4，求点P到右准线的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意定义结合已知求得PF₂，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．

解答 解：（1）根据题意：$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，解得$a=3，c=\sqrt{5}$，
∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由椭圆的定义得：PF₁+PF₂=6，可得PF₂=2，
设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得$\frac{2}{d}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
解得：$d=\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．