Question

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出点A，F₁的坐标，利用，即可求得椭圆的方程；
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，则==，从而求的最大值转化为求的最大值；
方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x，y），根据E，F的中点坐标为（0，2），可得 
所以=．根据点E在圆N上，点P在椭圆M上，可得==，利用，可求的最大值；
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，由，解得，再分别求得、，利用，可求的最大值；②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，同理可求
的最大值．
解答：解：（1）由题设知，，，…（1分）
由，得．…（3分）
解得a²=6．
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（2）方法1：设圆N：x²+（y-2）²=1的圆心为N，
则 …（6分）
=…（7分）
=．…（8分）
从而求的最大值转化为求的最大值．…（9分）
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x，y），…（10分）
所以，即．…（11分）
因为点N（0，2），所以．…（12分）
因为，所以当y=-1时，取得最大值12，…（13分）
所以的最大值为11，…（14分）

方法2：设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x，y），
因为E，F的中点坐标为（0，2），所以 …（6分）
所以…（7分）=（x₁-x）（-x₁-x）+（y₁-y）（4-y₁-y）==．…（9分）
因为点E在圆N上，所以，即．…（10分）
因为点P在椭圆M上，所以，即．…（11分）
所以==．…（12分）
因为，所以当y=-1时，．…（14分）
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，…（6分）
由，解得．…（7分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x，y），
所以，即．…（8分）
所以，…（9分）
所以．…（10分）
因为，所以当y=-1时，取得最大值11，…（11分）
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨设，E（0，3），F（0，1）．…（12分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x，y），
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当y=-1时，取得最大值11，…（13分）
综上可知，的最大值为11，…（14分）
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，综合性强，属于中档题．