Question

已知半圆x²+y²=3（y≥0），P为半圆上任一点，A（2，0）为定点，以PA为边作正三角形PAB，（如图所示）求四边形POAB面积的最大值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：设∠POA=α，由余弦定理表示出PA，即为PB，利用等边三角形的面积公式表示出三角形PAB的面积，进而表示出四边形面积，利用正弦函数的值域确定出最大值即可．

解答： 解：设∠POA=α，由余弦定理得：PA²=4+3-2×2×

3

cosα=7-4

3

cosα，
∵PB=PA，
∴S_△PAB=

3

4

PB²=

3

4

（7-4

3

cosα）=

7 3

4

-3cosα，
∴S_四边形=S_△PAO+S_△PAB=

1

2

×2×

3

sinα+

7 3

4

-3cosα=

3

sinα-3cosα+

7 3

4

=2

3

sin（α-

π

3

）+

7 3

4

，
当α-

π

3

=

π

2

，即α=

5π

6

时，S_四边形的最大值为2

3

+

7 3

4

=

15 3

4

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及正弦函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．