Question

如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y 轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且

MP

=

2

3

PN

，点P随线段MN的运动而变化．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设

OS

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）用消参法求轨迹方程，可先设出M，N，P点的坐标，用M，N点的坐标表示P点坐标，再消掉参数即可．
（2）先假设存在直线l，使四边形OASB的对角线相等，四边形OASB为矩形，OA⊥OB，再设出l的方程，与（1）中所求椭圆方程联立，得到x₁x₂，y₁y₂的表达式，根据OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，求k，若能求出，则存在，否则，不存在．

解答：解：（1）设M（x₀，0），N（0，y₀），P（x，y） 因为|MN|=5，所以x₀²+y₀²=25（*）
又点P是MN上一点，且|MP|=2，所以P分

MN

所成的比为

2

3

∴

x= x0+ 2 3 ×0 1+ 2 3 = 3 5 x0 y= 0+ 2 3 ×y0 1+ 2 3 = 2 5 y0

∴

x0= 5 3 x y0= 5 2 y

将其代入（*）得

x2

9

+

y2

4

=1即为所求的方程
（2）

OS

=

OA

+

OB

，所以四边形OASB为平行四边形，若存在l使得|

OS

|=|

AB

|，则四边形OASB为矩形
∴

OA

•

OB

=0若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

得

x=2 y=± 2 5 3

∴

OA

•

OB

=

16

9

＞0，与

OA

•

OB

=0矛盾，故l的斜率存在．
设l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0
∴x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-

20k2

9k2+4

②
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±

3

2

∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等

点评：本题考查了消参法求轨迹方程，以及存在性问题的求法，做题时要积极思考，找到解决方法．