Question

已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x²=4y相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，l₁、l₂分别是抛物线x²=4y在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与直线y=-1的交点．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）试比较|PM|与|PN|的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx-1．
由方程

y=kx-1 x2=4y.

，消去y得x²-4kx+4=0．     ①
∵直线l与抛物线x²=4y相交于A，B两点，
∴△=16k²-16＞0，解得k＞1或k＜-1．
故直线l斜率的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）可以断定|PM|=|PN|．
解法1：∵x₁，x₂是方程①的两实根，
∴

x1+x2=4k x1x2=4.

，∴x₁≠0，x₂≠0．
∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x．
∵y1=

1

4

x

21

，∴切线l₁的方程为y=

1

2

x1(x-x1)+

1

4

x12．
令y=-1，得点M的坐标为(

x12-4

2x1

，-1)．
∴|PM|=|

x12-4

2x1

|．
同理，可得|PN|=|

x22-4

2x2

|．
∵

|PM|

|PN|

=|

x12-4

2x1

•

2x2

x22-4

|=|

x12x2-4x2

x1x22-4x1

|=|

4x1-4x2

4x2-4x1

|=1（x₁≠x₂）．
故|PM|=|PN|．
解法2：∵x₁，x₂是方程①的两实根，
∴

x1+x2=4k x1x2=4.

，∴x₁≠0，x₂≠0．
∵y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x．
∵y1=

1

4

x

21

，
∴切线l₁的方程为y=

1

2

x1(x-x1)+

1

4

x12．
令y=-1，得点M的坐标为(

x12-4

2x1

，-1)．
同理可得点N的坐标为(

x22-4

2x2

，-1)．
∵

x12-4

2x1

+

x22-4

2x2

=

(x1+x2)(x1x2-4)

2x1x2

=0．
∴点P是线段MN的中点．
故|PM|=|PN|．