Question

19．已知分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+c（x≥0）}\end{array}\right.$．
（1）求实数c的值；
（2）当a=1时，求f[f（-1）]的值与函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分段函数的两段都取到x=0，列方程求出c；（2）利用复合函数的意义，求出f[f（-1）]的值，分段求单调增区间；（3）对a进行讨论．

解答 解：（1）因为两段都取到x=0，所以当x=0时的函数值相等，即2⁰=c，因此c=1
（2）因为a=1，所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\end{array}\right.$，所以$f[f（-1）]=f[\frac{1}{2}]=\frac{1}{4}$
由解析式可知：f（x）的增区间是（-∞，0）和（1，+∞）
（3）由解析式$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+1（x≥0）}\end{array}\right.$知：
当x≤0时：函数没有零点
当x≥0时：f（x）=（ax-1）（x-1），此时函数一定有一个零点x=1
令h（x）=ax-1，则函数h（x）要么没有零点，要么有且只有一个零点x=1，而：
当a=0时，此函数没有零点，符合题意
当a＜0时，此函数没有零点，符合题意
当a＞0时，若a=1，此函数有且只有一个零点x=1，符合题意；其它取值都有不等于1的根，不符合题意
所以：当a∈（-∞，0]∪{1}时，函数f（x）有且只有一个零点

点评 本题主要考查分段函数的函数值、单调性和零点的问题，关键是分类讨论思想，属于中等题．