Question

(本小题满分16分)   如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆

的右顶点, 点,点在椭圆上, .

(1)求直线的方程； (2)求直线被过三点的圆截得的弦长；

(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不

存在,请说明理由

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

 (1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P

的横坐标为1,

从而得……………………………3分         

所以直线BD的方程为………………5分

(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,

所以圆C的圆心为(0,－1),且圆C的半径为……………8分

又圆心(0,－1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为

 ……………………………………………10分

(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴

上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,

一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN……………………………………12分

设,则,根据在直线上,

解得………………………………………………………………………14分

所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为

,………………………………16分

【解析】略