Question

下列命题中，真命题是（ ）
A．?x∈R，使得sinx+cosx=2
B．?x∈（0，π），有sinx＞cos
C．?x∈R，使得x²+x=-2
D．?x∈（0，+∞），有e^x＞1+

Answer 1

【答案】分析：利用辅助角公式，可将sinx+cosx化这正切型函数的形式，进而根据正弦函数的值域，判断A的真假；利用正弦函数和余弦函数的图象和性质，举出反例，可以判断B的真假；根据一元二次方程根的个数判定方法，可以判断C的真假；构造函数f（x）=e^x-x-1，利用导数法，可以函数出函数的在区间（0，+∞）上的单调性，进而判断出D的真假，得到答案．
解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[，]，2∉[，]，故A“?x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；
当x=时，sinx＜cosx，故B“?x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；
∵方程x²+x=-2无解，故C“?x∈R，使得x²+x=-2”，不正确；
令f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e^x-x-1在区间（0，+∞）上为增函数，
又∵f（0）=e^x-x-1=0，∴D“?x∈（0，+∞），有e^x＞1+x”正确；
故选D
点评：本题考查的知识点是全称命题，特称命题，三角函数的图象和性质，一元二次方程根的个数判定，函数恒成立问题，要判断一个全称命题错误，只要举出一个反例即可，而要想说明一个特称命题为真命题，只要举出一个正例即可．