解法一:(I)如图所示,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,
OB,OA所在的直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,
则A(0,0,2
),B(0,2,0),D(0,1,
),C(2sinθ,2cosθ,0).
设
=(x,y,z)为平面COD的一个法向量,
由
,得
,……3分
取z=sinθ,则
=(
cosθ,-
sinθ,sinθ)=(0,-
,1)
因为平面AOB的一个法向量为
=(1,0,0),得
·
=0,
因此平面COD⊥平面AOB. ……6分
(II)设二面角C-OD-B的大小为α,由(1)得
当θ=
时,cosα=0;当θ∈(
,
]时,tanθ≤-
,
cosα=
=
=-
,……10分
故-
≤cosα<0.因此cosα的最小值为-
,
综上,二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-
. ……12分
解法二:(I)因为AO⊥OB,二面角B-AO-C为
, ……3分
所以OB⊥OC,又OC⊥OA,所以OC⊥平面AOB
所以平面AOB⊥平面CO D. ……6分
(II)当θ=
时,二面角C-OD-B的余弦值为0;……7分
当θ∈(
,
]时,过B作OD的垂线,垂足为E,
过C作OB的垂线,垂足为F,过F作OD的垂线,垂足为G,连结CG,
则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角.
在Rt△OCF中,CF=2sinθ,OF=-2cosθ,
在Rt△CGF中,GF=OFsin
=-
cosθ,CG=
,
所以cos∠CGF=
=-
.因为θ∈(
,
],tanθ≤-
,故0<cos∠CGF=
≤
.所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-
. ……12分