精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(本小题满分12分)如图所示,已知中,AB=2OB=4,D为AB的中点,若绕直线AO旋转而成的,记二面角B—AO—C的大小为(I)若,求证:平面平面AOB;(II)若时,求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。
解法一:(I)如图所示,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,
OB,OA所在的直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,
   
则A(0,0,2),B(0,2,0),D(0,1,),C(2sinθ,2cosθ,0).
=(x,y,z)为平面COD的一个法向量,
,得,……3分
取z=sinθ,则=(cosθ,-sinθ,sinθ)=(0,-,1)
因为平面AOB的一个法向量为=(1,0,0),得·=0,
因此平面COD⊥平面AOB.                  ……6分
(II)设二面角C-OD-B的大小为α,由(1)得
当θ=时,cosα=0;当θ∈(]时,tanθ≤-
cosα==-,……10分

故-≤cosα<0.因此cosα的最小值为-
综上,二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-.                 ……12分
解法二:(I)因为AO⊥OB,二面角B-AO-C为,                 ……3分
所以OB⊥OC,又OC⊥OA,所以OC⊥平面AOB                                                                              
所以平面AOB⊥平面CO                                   D.                                 ……6分
(II)当θ=时,二面角C-OD-B的余弦值为0;……7分
当θ∈(]时,过B作OD的垂线,垂足为E,
过C作OB的垂线,垂足为F,过F作OD的垂线,垂足为G,连结CG,
则∠CGF的补角为二面角C-OD-B的平面角.
在Rt△OCF中,CF=2sinθ,OF=-2cosθ,
在Rt△CGF中,GF=OFsin=-cosθ,CG=
所以cos∠CGF==-.因为θ∈(],tanθ≤-,故0<cos∠CGF=.所以二面角C-OD-B的余弦值的最小值为-.                                        ……12分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是        

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

把边长为a的正方形卷成圆柱形,则圆柱的体积是(  )
      B         C          D 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在正三棱锥中,有一半球,其底面与正三棱锥的底面重合,正三棱锥的三个侧面都和半球相切。如果半球的半径等于1,则当正三棱锥的体积最小时,正三棱锥的高等于(    )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中.
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求点到平面的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)已知是边长为的正方形的中心,点分别是的中点,沿对角线把正方形折成直二面角

(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)求点到面的距离.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分15分)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G,F分别是线段CE,PB上的动点,且满足=λ∈(0,1).

(Ⅰ) 求证:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求λ的值,使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,两条异面直线AB,CD与三个平行平面α,β,γ分别相交于A,E,B及
C,F,D,又AD、BC与平面β的交点为H,G.
求证:四边形EHFG为平行四边形。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

为两个不重合的平面,是不重合的直线,给出下列命题,其中正确的序号是          ▲                              
① 若;② 若相交不垂直,则n与m不垂直;③ 若,则;④ m是平面的斜线,n是m在平面内的射影,若,则

查看答案和解析>>

同步练习册答案