Question

设F₁，F₂为椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求

|PF1|

|PF2|

的值．

Answer 1

分析：当PF₂⊥x轴时，求出P的纵坐标，即得|PF₂|的值，由椭圆的定义求得|PF₁|，进而求得

|PF1|

|PF2|

  的值．
当PF₁⊥PF₂ 时，设|PF₂|=m，由椭圆的定义求得|PF₁|，由勾股定理可解得m，进而求得

|PF1|

|PF2|

  的值．

解答：解：由题意得 a=3，b=2，c=

5

，F₁（-

5

，0），F₂ （

5

，0）．
当PF₂⊥x轴时，P的横坐标为

5

，其纵坐标为±

4

3

，∴

|PF1|

|PF2|

=

2a- 4 3

4 3

=

6- 4 3

4 3

=

7

2

．
当PF₁⊥PF₂ 时，设|PF₂|=m，则|PF₁|=2a-m=6-m，3＞m＞0，由勾股定理可得
4c²=m²+（6-m）²，即  20=2 m²-12 m+36，解得 m=2 或 m=4（舍去），
故 

|PF1|

|PF2|

=

6-2

2

=2．
综上，

|PF1|

|PF2|

的值等于

7

2

 或2．

点评：本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑
PF₂⊥x轴时的情况．