Question

设集合S?N^*，S≠∅，且满足（1）1∉S；（2）若x∈S，则1+

12

x-1

∈S．
（1）S能否为单元集，为什么？
（2）求出只含两个元素的集合S．
（3）满足题设条件的集合S共有几个？为什么？能否列举出来．

Answer 1

分析：（1）S不是为单元集，通过题意推出方程，直接求解推出x的值即可说明；
（2）通过1+

12

x-1

∈S，利用1+

12

x-1

替换X，求出只含两个元素的集合S，说明不存在即可．
（3）满足题设条件的集合S，通过1+

12

x-1

∈N所以x-1必然是12的约数，然后一一列举出来，即可．

解答：解：（1）不能，因为1∉S，x∈S且1+

12

x-1

∈S，
而1+

12

x-1

≠ 1，
如果S是单元素集，必须1+

12

x-1

=x，
解得x=1±2

3

，即S中至少存在两个不同的元素，
所以S不是为单元集．
（2）因为1+

12

x-1

∈S，且x≠1，
用1+

12

x-1

替换X，
即1+

12

(1+ 12 x-1 )-1

=x而x≠1，
则1+

12

x-1

=x，所以（x-1）²=12，
则x=1±2

3

，而x∈N，所以x不存在，
即只含两个元素的集合S不存在．
（3）因为1+

12

x-1

∈S，且x≠1，
用1+

12

x-1

替换X，
即1+

12

(1+ 12 x-1 )-1

=x，
所以S最多含有3个元素，
很明显x∈N，且1+

12

x-1

∈N所以x-1必然是12的约数，
则x-1可以为1，2，3，4，6，12，
所以满足条件的S共有6个．

点评：本题是中档题，考查集合的参数的讨论，集合中元素的性质，考查逻辑推理能力，计算能力．