Question

15、已知定义域为（O，+∞）的函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（10x）=10f（x），②当x∈（1，10]时，f（x）=x-lgx，②．记区间I_k=（10^k，10^k+1]，其中k∈Z，当x∈I_k（k=0，1，2，3，…）时．f（x）的取值构成区间D_k，定义区间（a，b）的区间长度为b-a，设区间D_k在区间I_k上的补集的区间长度为a_k，则a₁=

10

，a_k=

10^k

．

Answer 1

分析：由题设条件求得区间D_k，与区间I_k比较即可得到区间D_k在区间I_k上的补集的区间长度为a_k，I_k已知，故只需要求得D_k即可

解答：解：由题意，当x∈I_k（k=0，1，2，3，…）时．f（x）=10^kf（t），t∈∈（1，10]，
由于当x∈（1，10]时，f（x）=x-lgx，此函数是一个增函数，其值域为（1，9]．
由题意知I_k=（10^k，10^k+1]，D_k=（10^k，9×10^k]，∴区间D_k在区间I_k上的补集为[9×10^k，10^k+1]，∴a_k=10^k，故a₁=10
故答案为：10，10^k

点评：本题考查抽象函数及其应用，求解的关键是正确理解函数的定义规则，根据规则进行计算，此类题，理解题意中所给的运算规则很重要．