Question

已知函数：f（x）=lg[sin（2x+

π

3

）-

1

2

]
（1）求函数定义域
（2）求函数的值域
（3）若y=f（x+φ）是偶函数，求φ的集合．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性,对数函数的图像与性质,对数函数图象与性质的综合应用

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）要使函数有意义，则需sin（2x+

π

3

）-

1

2

＞0，由正弦函数的图象和性质，即可得到定义域；
（2）运用正弦函数的值域，结合对数函数的单调性，即可得到值域；
（3）运用余弦函数的奇偶性，即有2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解方程即可得到所求集合．

解答： 解：（1）要使函数有意义，则需
sin（2x+

π

3

）-

1

2

＞0，即sin（2x+

π

3

）＞

1

2

，
即2kπ+

π

6

＜2x+

π

3

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z，
解得kπ-

π

12

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z，
则定义域为（kπ-

π

12

，kπ+

π

4

），k∈Z；
（2）由0＜sin（2x+

π

3

）-

1

2

≤

1

2

，
即有lg[sin（2x+

π

3

）-

1

2

]≤lg

1

2

=-lg2，
则值域为（-∞，-lg2]；
（3）y=f（x+φ）是偶函数，
即f（x+φ）=lg[sin（2x+2φ+

π

3

）-

1

2

]为偶函数，
则2φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得φ=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z．
则所求集合为{φ|φ=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z}．

点评：本题考查函数的定义域和值域以及奇偶性的运用，考查三角函数的图象和性质，考查对数函数的性质，考查运算能力，属于基础题．