Question

已知：在函数f（x）=mx³-x的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为．
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；
（3）求证：（x∈R，t＞0）．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3mx²-1，依题意，得f'（1）=，即3m-1=1，．…（2分）
∵f（1）=n，∴．…（3分）
（2）令f'（x）=2x²-1=0，得．…（4分）
当时，f'（x）=2x²-1＞0；
当时，f'（x）=2x²-1＜0；
当时，f'（x）=2x²-1＞0．
又，，，f（3）=15．
因此，当x∈[-1，3]时，．…（7分）
要使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整数k=2008，使得不等式f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立．…（9分）
（3）方法一：|f（sinx）+f（cosx）|======．…（11分）
又∵t＞0，∴，．
∴==．…（13分）
综上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
方法二：由（2）知，函数f（x）在[-1，]上是增函数；在[，]上是减函数；在[，1]上是增函数．
又，，，．
所以，当x∈[-1，1]时，，即．
∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴，．
∴．…（11分）
又∵t＞0，∴，且函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
∴．…（13分）
综上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
分析：（1）由函数f（x）=mx³-x，可求出f'（x）的解析式，根据以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为，构造方程可以求出m的值，进而求出n值，
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数的解析式，由于f（x）≤k-1993对于x∈[-1，3]恒成立，我们可以求出x∈[-1，3]的最大值，进而确定满足条件的k值；
（3）方法一：根据（1）中函数的解析式，根据三角函数的值域和基本不等式，我们分别求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和的最小值，比照后即可得到答案．
方法二：根据（2）的结论，我们可以确定出函数的单调性，结合绝对值的性质和基本不等式，利用函数的单调性可以结论．
点评：本题考查的知识点是不等式的证明，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，直线的倾斜角，其中根据已知条件，求出函数的解析式，并分析出函数的性质是解答本题的关键．