Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

1

=1（a＞1）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上位于x轴上方的动点．
（Ⅰ）当

AF1

•

AF2

取最小值时，求A点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情形下，是否存在以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设出点的坐标，利用数量积公式，结合配方法，即可求得结论；
（II）设AC的直线方程为y=kx+1（不妨设k＞0），代入椭圆的方程中，求出AB，AC的长，利用|AB|=|AC|，可得方程，考虑方程根的情况，即可得出结论．

解答：解：（Ⅰ）设A（x，y），F₁（-c，0）．F₂（c，0），则

AF1

•

AF2

=x²+y²-c²
因为A（x，y）在椭圆上，所以y2=1-

x2

a2

，
所以

AF1

•

AF2

=x2(1-

1

a2

)+1-c2
∵a＞1，∴当x=0时，

AF1

•

AF2

取得最小值，此时A点的坐标为A（0，1）．
（Ⅱ）设两个顶点为B，C，显然直线AC斜率存在，不妨设AC的直线方程为y=kx+1（不妨设k＞0），代入椭圆的方程中可得(

1

a2

+k2)x2+2kx=0，解得x₁=0（即A点的横坐标），x₂=-

2k

1 a2 +k2

由弦长公式得：|AC|=

1+k2

•

2k

1 a2 +k2

（k＞0）
同理：|AB|=

1+ 1 k2

•

2 k

1 a2 + 1 k2

由|AB|=|AC|，即

1+k2

•

2k

1 a2 +k2

=

1+ 1 k2

•

2 k

1 a2 + 1 k2

，
化简得：（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0．
考虑关于k的方程k²+（1-a²）k+1=0，其判别式△=（1-a²）²-4
（1）当△＞0时，a＞

3

，其两根设为k₁，k₂，
由于k1+k2=a2-1＞0，k₁k₂=1＞0，故两根必为正根，
显然k₁≠1，k₂≠1，故关于k的方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0有三解，相应地，这样的等腰直角三角形有三个．
（2）当△=0时，a=

3

，此时方程k²+（1-a²）k+1=0的解k=1，故方程（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0只有一解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个．
（3）当△＜0时，显然方程只有k=1这一个解，相应地，这样的等腰直角三角形只有一个．
综上：当a＞

3

时，这样的等腰直角三角形有三个；当1＜a≤

3

时，这样的等腰直角三角形只有一个．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．