Question

13．已知集合A={x|log₅（ax+1）＜1}（a≠0），B={x|2x²-3x-2＜0}．
（1）求集合B；
（2）求证：A=B的充要条件为a=2；
（3）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出集合B即可；（2）分别判断充分性和必要性即可；（3）问题转化为A?B，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）2x²-3x-2＜0，（2x+1）（x-2）＜0，
所以$-\frac{1}{2}＜x＜2$，
所以$B=（-\frac{1}{2}，2）$…（4分）
（2）证明：充分性：当a=2时，
$A=\{x\left|{{{log}_5}（2x+1）＜1}\right.\}=\{x\left|{0＜2x+1＜5}\right.\}=（-\frac{1}{2}，2）$，
所以当a=2时：A=B．…（6分）
必要性：
A={x|log₅（ax+1）＜1}={x|0＜ax+1＜5}={x|-1＜ax＜4}
当a＞0时$A=\left\{{x\left|{-\frac{1}{a}＜x＜\frac{4}{a}}\right.}\right\}$，
又A=B，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}=-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}=2}\end{array}}\right.⇒a=2$，…（8分）
当a＜0时，$A=\left\{{x\left|{\frac{4}{a}＜x＜-\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}=2}\\{\frac{4}{a}=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{a=-8}\end{array}}\right.$，无解，A≠B，
故A=B时，a=2．
∴A=B的充要条件为：a=2…（10分）
（3）∵p是q的充分不必要条件，
∴A?B，…（12分）
由（2）知
当a＞0时，$A=\left\{{x\left|{-\frac{1}{a}＜x＜\frac{4}{a}}\right.}\right\}$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≥-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}＜2}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{\frac{4}{a}≤2}\end{array}}\right.$，解得a＞2…（14分）
当a＜0时，$A=\left\{{x\left|{\frac{4}{a}＜x＜-\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}≥-\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{a}＜2}\end{array}}\right.⇒a≤-8$，
综上p是q的充分不必要条件，实
数a的取值范围是a＞2，或a≤-8．…（16分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查分类讨论，是一道中档题．