Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a₃是a₆与a₉的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N^*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1）代入b_n中进而可证明{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可分别求得a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1，将以上各式相加，答案可得．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a₃不是a₆与a₉的等差中项，判断q≠1．根据a₃是a₆与a₉的等差中项，求得q．用q分别表示出a_n，a_n+3与a_n+6进而根据等差中项的性质可得结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1，n≥2．
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，所以{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a₂-a₁=1，a₃-a₂=q，
…
a_n-a_n-1=q^n-2，（n≥2）．
将以上各式相加，得a_n-a₁=1+q+…+q^n-2（n≥2）．
所以当n≥2时，an=

1+ 1-qn-1 1-q ，q≠1 n，q=1

上式对n=1显然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当q=1时，显然a₃不是a₆与a₉的等差中项，故q≠1．
由a₃-a₆=a₉-a₃可得q⁵-q²=q²-q⁸，由q≠0得q³-1=1-q⁶，①
整理得（q³）²+q³-2=0，解得q³=-2或q³=1（舍去）．于是q=-

3	2

．
另一方面，an-an+3=

qn+2-qn-1

1-q

=

qn-1

1-q

(q3-1)，an+6-an=

qn-1-qn+5

1-q

=

qn-1

1-q

(1-q6)．
由①可得a_n-a_n+3=a_n+6-a_n，n∈N^*．
所以对任意的n∈N^*，a_n是a_n+3与a_n+6的等差中项．

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．