Question

已知等比数列{b_n}，公比q＞0，b₃=8，前n项和T_n满足T₃=14，且数列{a_n}满足a_n+1-2log₂b_n=0（n∈N^*）
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得关于数列{b_n}的首项、公比的方程组，解出可得b_n，再代入已知等式可得a_n；
（2）先由（1）可得c_n，然后利用错位相减法可求得S_n．

解答：解：（1）设数列{b_n}的首项b₁，由题意得，

b3=b1q2=8 T3= b1(1-q3) 1-q =14

，
解方程组得：q=2，b₁=2，
∴bn=2n，a_n=2log₂b_n-1=2n-1；
（2）由（1）cn=anbn=(2n-1)•2n，
∴Sn=1×21+3×22+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)2n，
则2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1，
两式相减得，-Sn=2+2×22+…+2×2n-(2n-1)2n+1=2×（2+2²+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：本题考查等差等比数列的通项公式、错位相减法对数列求和，考查学生的运算求解能力，熟记相关问题的基本方法是解决问题的关键．