Question

如图，已知直角梯ACDE所在的平面垂直于平ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（Ⅰ）P是线段BC中点，证明DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中点F，连接DP、PF、EF，利用三角形的中位线定理可得FP∥AC，FP=

1

2

AC．取AC的中点M，连接EM、EC，可得△EAC是正三角形，得到EM⊥AC．利用四边形EMCD为矩形，可得ED=MC=

1

2

AC．得到ED∥AC，得到四边形EFPD是平行四边形．利用线面平行的判定定理即可证明．
（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取AB的中点F，连接DP、PF、EF，则FP∥AC，FP=

1

2

AC．
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=

1

2

AC．
又∵ED∥AC，
∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形．
∴DP∥EF，而EF?平面EAB，DP?平面EAB，∴DP∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面EACD平面ABC，
∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内（如图）．设AB=AC=AE=2，由已知，得B（2，0，0），E(0，1，

3

)，D(0，2，

3

)．
∴

EB

=(2，-1，-

3

)，

ED

=（0，1，0），
设平面EBD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • EB =2x-y- 3 z=0 n • ED =y=0

，取z=2，得平面EBD的一个法向量为

n

=(

3

，0，2)．
又∵平面ABC的一个法向量为

m

=（0，0，1）．
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m | | n |

=

2

7

=

2 7

7

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理可、正三角形的定义域性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、先面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角可得二面角的余弦值等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力、推理能力，属于难题．