Question

袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n的球重

n2

2

-5n+15克，这些球等可能地从袋中被取出．
（1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；
（2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率；
（3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，搅拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球．按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（1）利用重量大于号码数，建立不等式，确定n的可能取值，从而可求概率；
（2）利用它们重量相等，建立等式，确定n的可能取值，从而可求概率；
（3）确定ξ的可能取值，求得相应的概率，从而可求Eξ．

解答：解：（1）由

n2

2

-5n+15＞n，可得n²-12n+30＞0，…（1分）
∴n＞6+

6

或n＜6-

6

，
由于n∈N^*，所以n可取1，2，3，9，10，11，12，13，…，35共30个数，…（3分）
故P1=

30

35

=

6

7

，…（4分）
（2）因为是不放回任意取出2球，故这是编号不相同的两个球，设它们的编号分别为n₁和n₂，
由

n 2 1

2

-5n1+15=

n 2 2

2

-5n2+15，得

n 2 1 - n 2 2

2

=5(n1-n2)，…（5分）
因为n₁≠n₂，所以n₁+n₂=10，从而满足条件的球有（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）…（7分）
故概率为P2=

4

595

…（8分）
（3）ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ=1)=

1

7

，P（ξ=2）=

6

7

×

1

7

=

6

49

；P（ξ=3）=

6

7

×

6

7

=

36

49

；
∴Eξ=1×

1

7

+2×

6

49

+3×

36

49

=

127

49

．…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的期望，考查学生的计算能力，属于中档题．