Question

设a为实数，函数f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e^x>x²－2ax＋1.

Answer 1

解析　(1)由f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e^x－2，x∈R.

令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，ln2)	ln2	(ln2，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
 f(x)		2(1－ln2＋a)

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．

f(x)在x＝ln2处取得极小值，

极小值为f(ln2)＝e^ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．

(2)设g(x)＝e^x－x²＋2ax－1，x∈R.

于是g′(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R.

由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.

即e^x－x²＋2ax－1>0，故e^x>x²－2ax＋1.