Question

有一位同学写了一个不等式：≥(x∈R).

(1)她发现当c=1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任何的正数c都成立？为什么？

(2)对已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的“”改成某些值，如-c、0等，不等式总是成立的，试求出所有这样的值的集合M.

Answer 1

分析：解决这类不等式的常用方法就是变量代换，令=t，则t≥.然后再利用基本不等式或函数的单调性来解决，这样就引起分类讨论.

解：(1)令=t≥,令f(x)=-

=.                                                         ①

    若不等式成立，即①式≥0，则需tc-1≥0x²≥-c.          ②

    而当c=时，②式对于x∈R不能成立，所以原不等式对任何正数c不是都成立.

(2)当0＜c≤1时，f(t)=t+≥2,当t=1，

    即x=时取等号.

    所以［f(x)］_min=2,故M={m|m≤2}.

    当c＞1时，t≥,t-1＞0.

    由①知，f(x)-≥0，

    当t=，即x=0时，取等号，所以［f(x)］_min=，故M=(-∞,).

    综上所述，当0＜c≤1时，M=(-∞,2]；当c＞1时，M=(-∞,).