Question

在

4

-

+

9

-

=1中的“

10，15

”处分别填上一个自然数，并使它们的和最小

10

15

．

Answer 1

分析：若分别填上自然数a，b，则a，b满足

4

a

+

9

b

=1，它们的和a+b=（a+b）•1=（a+b）•（

4

a

+

9

b

）=）=13+

4b

a

+

9a

b

，可利用基本不等式研究最小值及求出a，b的值．

解答：解：设应分别填上自然数a，b，则

4

a

+

9

b

=1①，它们的和a+b=（a+b）•1=（a+b）•（

4

a

+

9

b

）=13+

4b

a

+

9a

b

≥13+2

4b a × 9a b

=25，
当且仅当

4b

a

=

9a

b

，b=

3

2

a②时取等号，将①代入②解得a=10，∴b=15．
故答案为：10，15．

点评：本题考查基本不等式的应用：求最值．将a+b写成（a+b）•1，再将1代换成

4

a

+

9

b

创造基本不等式适用的形式是本解法的关键．读者应体会掌握这一题型及方法．基本不等式求最值时要注意三个原则：一正，即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立．