Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．
（1）求角A的值；
（2）若$cosB=\frac{3}{5}$，求sin（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求$cosA=\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用倍角公式可求sin2B，cos2B，由sin（B-C）=sin（2B-$\frac{2π}{3}$），利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…（2分）
即2cosAsinA=sinA，
因为A∈（0，π），
所以sinA≠0，
所以2cosA=1，即$cosA=\frac{1}{2}$，…（4分）
又A∈（0，π），
所以$A=\frac{π}{3}$． …（6分）
（2）因为$cosB=\frac{3}{5}$，B∈（0，π），
所以$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\frac{4}{5}$，…（8分）
所以$sin2B=2sinBcosB=\frac{24}{25}$，$cos2B=1-2{sin^2}B=-\frac{7}{25}$，…（10分）
所以$sin（B-C）=sin[B-（\frac{2π}{3}-B）]=sin（2B-\frac{2π}{3}）$=$sin2Bcos\frac{2π}{3}-cos2Bsin\frac{2π}{3}$…（12分）
=$-\frac{24}{25}×\frac{1}{2}-（-\frac{7}{25}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{7\sqrt{3}-24}}{50}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．