Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD＝AA₁=a，AB=2a.

(1)求证:MN∥面ADD₁A₁;

(2)求二面角P-AE-D的大小;

(3)求三棱锥P—DEN的体积 .

Answer 1

(1)证明:取CD的中点K,连结MK、NK.

∵M、N、K分别为AE、CD₁、CD的中点，

∴MK∥AD,NK∥DD₁.

∴MK∥面ADD₁A₁,NK∥面ADD₁A₁.

∴面MNK∥面ADD₁A₁.

∴MN∥面ADD₁A₁.

(2)解:设F为AD的中点，

∵P为A₁D₁的中点，∴PF∥D₁D.

∴PF⊥面ABCD.

作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE⊥PH.

从而∠PHF为二面角PAED的平面角.

在Rt△AEF中，AF=,EF=2a,AE=a,

FH=.

在Rt△PFH中，tan∠PHF=,

故二面角PAED的大小是arctan.

(3)解:S_△NEP==BC·CD₁=·a·a².

作DQ⊥CD₁，交CD₁于Q，由A₁D₁⊥面CDD₁C₁，得A₁D₁⊥DQ，∴DQ⊥面BCD₁A₁.

在Rt△CDD₁中，DQ=a,

∴V_P—DEN=V_D—NEP=S_△NEP·DQ=·a²·a=.