Question

设正项数列{a_n}的前项和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差数列，且公差相等，求：
（1）{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前三项，记数列c_n=cn=

24bn

(12bn-1)2

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）设出{a_n}的公差为d，求出

Sn

，由{

Sn

}也是公差为d的等差数列，知

Sn

是关于n的一次函数，由此得到a1-

d

2

=0，且d=

d 2

，求解d后可求{a_n}的通项公式；
（2）利用a₁，a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前三项得数列{b_n}的首项和公比，求出通项公式后代入cn=

24bn

(12bn-1)2

，整理后对n≥2时把c_n放大，然后利用裂项相消法求和，进一步放缩后得结论，验证T₁成立，则结论得到证明．

解答：（1）解：设{a_n}的公差为d，则

Sn

=

d 2 n2+(a1- d 2 )n

   ①．
又{

Sn

}也是公差为d的等差数列，结合①知，

Sn

=

d 2

n．
∴a1-

d

2

=0，且d=

d 2

，∴d=

1

2

，
则a1=

d

2

=

1 2

2

=

1

4

．
∴an=a1+(n-1)d=

1

4

+

1

2

(n-1)=

n

2

-

1

4

；
（2）证明：由an=

n

2

-

1

4

，得：a1=

1

4

，a2=

3

4

，a5=

9

4

．
而a₁，a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前三项，
∴b1=a1=

1

4

，等比数列{b_n}的公比q=

a2

a1

=

3 4

1 4

=3．
∴bn=b1qn-1=

1

4

×3n-1，∴cn=

24bn

(12bn-1)2

=

24× 1 4 ×3n-1

(12× 1 4 ×3n-1-1)2

=

2×3n

(3n-1)2

．
当n≥2时，

2×3n

(3n-1)2

＜

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

．
∴当n≥2时，Tn=

3

2

+

2×32

(32-1)2

+…+

2×3n

(3n-1)2

≤

3

2

+(

1

2

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2，
且T1=

3

2

＜2，故对任意n∈N^*，T_n＜2．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列和的求法，训练了利用放缩法证明不等式，属中高档题．