Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），离心率e=

3

2

．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．

Answer 1

分析：（1）先设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，有c=

3

，

c

a

=

3

2

求得a，b，最后写出椭圆方程；
（2）由

y=x+m x2+4y2=4

，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则c=

3

，

c

a

=

3

2

，（4分）
∴a=2，b=1，所求椭圆方程

x2

4

+y2=1．（5分）
（2）由

y=x+m x2+4y2=4

，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，
则△＞0得m²＜5（*）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4(m2-1)

5

y₁-y₂=x₁-x₂，（8分）
|PQ|=

2[(- 8m 5 )2- 4(m2-1) 5 ]

=2
解得m=±

30

4

，满足（*）
∴m=±

30

4

．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．解答的关键是利用方程思想利用设而不求的方法求出m值．