Question

已知如图几何体，正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，AF=2AB=2AD，M为AF的中点，BN⊥CE．
（Ⅰ）求证：CF∥平面BDM；
（Ⅱ）求二面角M-BD-N的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明CF∥平面BDM，利用线面平行的判定，只需证明CF平行于平面BDM中以一条线即可，连接AC，AC∩BD=O，连接OM，则O为AC的中点，根据M为AF的中点，可证OM∥CF；
（Ⅱ）设AB=a，∴BE=2a，求出S△BMD=

3

2

a2，S△BND=

6

5

a2，可得二面角M-BD-N的平面角的余弦值为

S△BND

S△BMD

= 

6 5 a2

3 2 a2

=

2 2

5

，由此可求二面角M-BD-N的平面角的大小．

解答：（Ⅰ）证明：连接AC，AC∩BD=O，连接OM，则O为AC的中点
∵M为AF的中点，∴OM∥CF
∵OM?平面BDM，∴CF∥平面BDM；
（Ⅱ）解：设AB=a，∴BE=2a，
在△BEC中，CE=

5

a，∴BN=

BE•BC

CE

=

2

5

a
在△BMD中，DM=BM=DB=

2

a，∴S△BMD=

3

2

a2
∵DC⊥平面BCE，BN?平面BCE，∴DC⊥BN
∵BN⊥CE，DC∩CE=C，∴BN⊥平面DCN，∴BN⊥DN
在△BND中，BN=

2

5

a，DN=

6

5

a，∴S△BND=

6

5

a2
∴二面角M-BD-N的平面角的余弦值为

S△BND

S△BMD

= 

6 5 a2

3 2 a2

=

2 2

5

∴二面角M-BD-N的平面角的大小为arccos

2 2

5

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，利用面积射影法求面面角．