Question

已知对称中心为坐标原点的椭圆与抛物线有一个相同的焦点，直线与抛物线只有一个公共点.
（1）求直线l的方程；
（2）若椭圆经过直线l上的点P，当椭圆的长轴长取得最小值时，求椭圆的方程及点P的坐标。

Answer 1

解：（1）解法一：由，消去y得。   
∵直线l与抛物线只有一个公共点   
∴解得m=-4
∴直线l的方程为y=2x-4
解法二：设直线l与抛物线的公共点坐标为
由得
∴直线的斜率
依题意得解得，
把代入抛物线的方程得
∵点在直线l上，
∴解得
∴直线l的方程为；
（2）解法一：抛物线的焦点为
依题意知椭圆的两个焦点坐标为，
设椭圆的方程为，
 由消去y，得  
由
得，解得，∴，   
∴当a=2时椭圆的长轴长取得最小值其值为4
此时椭圆的方程为，把a=2代入方程得，从而
∴点P的坐标为
解法二：∵抛物线的焦点为
 依题意知椭圆的两个焦点坐标为，    
设点关于直线l的对称点为，
则
 解得，
∴点
∴直线与直线的交点为
 由椭圆定义及平面几何知识得    椭圆的长轴长，
其中当点重合时，上面不等式取等号。 
∴当a=2时椭圆的长轴长取得最小值其值为4，
此时椭圆方程为，
点P的坐标为。