Question

如图，椭圆E：

x2

2

+y2=1的右焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．
（Ⅰ）求证：直线MN恒过定点T，并求出T的坐标；
（Ⅱ）求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并判断定点T与轨迹的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AB：y=k（x-1），由题意知

y=k(x-1) x2+2y2=2

?(1+kx2)x2-4k2x+2k2-2=0，M(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)，同理N(

2

k2+2

，

k

k2+2

)，所以MN过定点（

2

3

，0），当AB的斜率不存在或为零时同样MN过定点（

2

3

，0），所以T（

2

3

，0）．
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为：x2+y2-

4k2

k2+2

x+

2k

k2+2

y+

k2-2

k2+2

=0同理以CD为直径的圆N的方程为：
x2+y2-

4

1+2k2

x-

2k

1+2k2

y+

1-2k2

1+2k2

=0，由此可以判断定点T与轨迹的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）∵F（1，0），不妨设AB的斜率存在且不为零，
设AB：y=k（x-1）
∴

y=k(x-1) x2+2y2=2

?(1+kx2)x2-4k2x+2k2-2=0
∴M(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)，同理N(

2

k2+2

，

k

k2+2

)，
MN直线的方程为：

y- k k2+2

k k2+2 + k 1+2k2

=

x- 2 k2+2

2 k2+2 - 2k2 1+2k2

，
变形分析可得：MN过定点（

2

3

，0），当AB的斜率不存在或为零时
同样MN过定点（

2

3

，0），∴T（

2

3

，0）． （7分）
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为：
x2+y2-

4k2

k2+2

x+

2k

k2+2

y+

k2-2

k2+2

=0①（9分）
同理以CD为直径的圆N的方程为：
x2+y2-

4

1+2k2

x-

2k

1+2k2

y+

1-2k2

1+2k2

=0②（11分）
①-②得公共弦直线方程为4x+

6

1 k -k

y-5=0③
又MN直线方程x-

2

3k

(1-k2)y=

2

3

④
由③、④消去k得两圆公共弦中点的轨迹方程为：（15分）
(x-

2

3

)(x-

5

4

)+y2=0
∴点T在圆上．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．