Question

设p：不等式x²+（m-1）x+1＞0的解集为R；q：方程

x2

m-1

-

y2

m+2

=1表示焦点在x轴上的双曲线．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由不等式x²+（m-1）x+1＞0的解集为R，可得△=（m-1）²-4＜0，解不等式可求满足条件的p，
由方程

x2

m-1

-

y2

m+2

=1表示焦点在x轴上的双曲线，可得

m-1＞0 m+2＞0

，从而可求q，然后由为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，可知p，q一真一假，从而可求

解答：解：若不等式x²+（m-1）x+1＞0的解集为R，
则△=（m-1）²-4＜0，解之得-1＜m＜3，即p：-1＜m＜3．…（4分）
方程

x2

m-1

-

y2

m+2

=1表示焦点在x轴上的双曲线，则

m-1＞0 m+2＞0

即q：m＞1（6分）
因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以p和q一真一假．…（8分）
（1）当p真q假时，

-1＜m＜3 m≤1

得-1＜m≤1；…（10分）
（2）当p假q真时，

m≤-1或m≥3 m＞1

得m≥3．…（12分）
综上，m的取值范围是（-1，1]∪[3，+∞）．…（14分）

点评：本题以复合命题的真假关系为载体，主要考查了二次不等式的性质及双曲线性质的简单应用，解题的关键是熟练应用基本知识