Question

【题目】设函数.

（1）若不等式解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若不等式解集非空，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）-2；（2）或或.

【解析】

（1）由题意把不等式化为|x﹣2a|≤2﹣a，去掉绝对值，写出x的取值范围，再根据不等式的解集列方程求出a的值；

（2）把不等式化为|x+4|+1≤（k2﹣1）x，设g（x）＝|x+4|+1，作出g（x）的图象，结合图象知要使不等式的解集非空，应满足的条件是什么，由此求得k的取值范围．

解：（1）函数f（x）＝+a，

∴不等式f（x）≤2化为≤2﹣a，

∴a﹣2≤x﹣2a≤2﹣a，

解得3a﹣2≤x≤a+2；

又f（x）≤2的解集为{x|﹣8≤x≤0}，

∴，

解得a＝﹣2；

（2）在（1）的条件下，f（x）＝|x﹣4|﹣2，

不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3化为|x+4|+1≤（k2﹣1）x，

令g（x）＝|x+4|+1，作出g（x）的图象，如图所示；

由图象知，要使不等式的解集非空，应满足：

k2﹣1＞1或k2﹣1，

即k2＞2或k2，

解得k或k或x，

所以实数k的取值范围是{k|k或k或k}．